2018年高中数学第三章不等式3.1不等关系学案苏教版选修5

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3.1 不等关系

预习课本P73~74,思考并完成以下问题

[新知初探]

1.不等号:在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的.我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连结两个数或代数式,以表示不等关系.“=”表示相等关系,如a=b表示a与b相等;“a≠b”则应包含“a>b”或“a2.关于a≤b或a≥b的含义:不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“或者a3.比较两个实数的大小:通常用作差法或作商法.

[点睛] (1)表示不等关系时,要抓住题意中的关键词,明确基本数量关系,类比列方程的方法,准确表示不等式.

(2)在列不等式(组)时要注意变量自身的范围.

[小试身手]

1.某小区的绿化面积B不小于该小区占地面积A的16%,写成不等式为________.

解析:“不小于”就是“≥”.故B≥16%·A.

答案:B≥16%·A

2.已知x>1,则x3________x2-x+1(填“>”或“<”).

解析:x3-(x2-x+1)=(x3-x2)+(x-1)=(x-1)·(x2+1)>0,∴x3>x2-x+1.

答案:>

3.某企业生产A ,B 两种产品,A 产品的单位利润为60元,B 产品的单位利润为80元,两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产,每件A 产品在加工车间和装配车间各需经过0.8 h 和2.4 h ,每件B 产品在两个车间都需经过1.6 h ,在一定时期中,加工车间最大加工时间为240 h ,装配车间最大生产时间为288 h .若设该企业分别生产A 产品x 件,B 产品y 件,则用不等式或不等式组把此实例中的不等关系表示为_____________________________.

解析:设该企业分别生产A 产品x 件、B 产品y 件, 则????? 0.8x +1.6y ≤240,

2.4x +1.6y ≤288,x ,y ≥0,x ,y ∈N

*

答案:?????

0.8x +1.6y ≤240,

2.4x +1.6y ≤288,x ,y ≥0,

x ,y ∈N

*

4.设M =2a (a -2),N =(a +1)(a -3),则有M ,N 的大小关系为________. 解析:M -N =2a (a -2)-(a +1)(a -3)=a 2

-2a +3=(a -1)2

+2≥2>0,所以M >N . 答案:M >N

[典例] 《铁路旅行常识》规定:

“随同成人旅行身高1.2~1.5米的儿童,享受半价客票(以下称儿童票),超过1.5米时,应买全价票、每一成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童,超过一名时,超过的人数应买儿童票.……”

设身高为h (米),请用不等式表示下表中的不等关系.

1.2≤h ≤1.5,

身高超过1.5米可表示为h >1.5,

身高不足1.2米可表示为h <1.2.

[活学活用]

1.一个两位数,个位数字为a ,十位数字为b ,且这个两位数大于50,可用不等关系表示为__________.

答案:10b +a >50

2.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使车和货的总重量T 满足关系为________.

答案:T ≤40

3.大圆O 1的半径为R ,小圆O 2的半径为r ,两圆的圆心距O 1O 2为d ,若两圆相交,则d 需要满足的条件是________.

答案:R -r

[典例] 某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车,有9名驾驶员.该车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次,写出满足上述所有不等关系的不等式.

[解] 设每天派出甲型卡车x 辆,乙型卡车y 辆,根据题意,应有如下的不等关系: (1)甲型卡车和乙型卡车的总和不能超过驾驶员人数; (2)车队每天至少要运360 t 矿石;

(3)甲型卡车不能超过4辆,乙型卡车不能超过7辆. 用关于x ,y 的不等式表示上述不等关系即可.

?????

x +y ≤9,

10×6x +6×8y ≥360,

0≤x ≤4,0≤

y ≤7,x ,y ∈N *

.

即???

?

?

x +y ≤9,

5x +4y ≥30,

0≤x ≤4,

0≤y ≤7,x ,y ∈N *

.

[活学活用]

某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车,根据需要,A 型汽车至少买5辆,B 型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式.

解:设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆, 则?????

40x +90y ≤1 000,x ≥5,y ≥6,x ,y ∈N *

.

即?????

4x +9y ≤100,

x ≥5,y ≥6,x ,y ∈N *

.

1.已知a 1≤a 2,b 1≥b 2,则a 1b 1+a 2b 2与a 1b 2+a 2b 1的大小关系是________. 解析:由a 1b 1+a 2b 2-(a 1b 2+a 2b 1)=a 1(b 1-b 2)+a 2(b 2-b 1)=(a 1-a 2)(b 1-b 2), ∵a 1≤a 2,b 1≥b 2, ∴(a 1-a 2)(b 1-b 2)≤0, 即a 1b 1+a 2b 2≤a 1b 2+a 2b 1. 答案:a 1b 1+a 2b 2≤a 1b 2+a 2b 1 题点二:作商法比较

2.若a =1816

,b =1618

,则a 与b 的大小关系为________.

解析:a b =18161618=? ????1816161162=? ????9816? ????1216=? ????98216,∵982

∈(0,1),∴? ????98216

<1

,

∵1816

>0,1618

>0,∴1816

<1618

,即a 层级一 学业水平达标

1.实数m 不超过2,是指________. 解析:“不超过”就是“小于等于”. 答案:m ≤ 2

2.某次数学智力测验,共有20道题,答对一题得5分,答错一题得-2分,不答得零分,某同学有一道题未答,那么这个学生至少答对多少题,成绩才能不低于80分,列出其中的不等关系:________.(不用化简)

答案:5x -2(19-x )≥80,x ∈N *

3.一辆汽车原来每天行驶x km ,如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ,那么在8天内它的行程就超过2 200 km ,写成不等式为________________;如果它每天行驶的路程比原来少12 km ,那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间,用不等式表示为____________.

答案:8(x +19)>2 200

8x

x -12

>9 4.设a ,b ∈[0,+∞),A =a +b ,B =a +b ,则A ,B 的大小关系是________. 解析:由题意得,B 2

-A 2

≤0,且A ≥0,B ≥0,可得A ≥B . 答案:A ≥B

5.已知某学生共有10元钱,打算购买单价分别为0.6元和0.7元的铅笔和练习本,根据需要,铅笔至少买7支,练习本至少买6本.若铅笔买x 支,练习本买y 本,则满足的不等式组为____________.

答案:?????

x ≥7,y ≥6,0.6x +0.7y ≤10,

x ,y ∈N

*

6.已知-27.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x 不低于95分,文化课总分y 高于380分,体育成绩z 超过45分,用不等式组表示就是________________.

解析:专业成绩x 不低于95分可表示为x ≥95;

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