[最新]版高中数学第三章不等式章末复习课学案苏教版必修50227498

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第三章 不等式

学习目标 1.整合知识结构,进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练运用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.5.会用基本不等式求解函数最值.

知识点一 “三个二次”之间的关系

所谓三个二次,指的是①二次________图象及与x轴的交点;②相应的一元二次________的实根;③一元二次____________的解集端点.

解决其中任何一个“二次”问题,要善于联想其余两个,并灵活转化.

知识点二 规划问题

1.规划问题的求解步骤如下:

(1)把问题要求转化为约束条件;

(2)根据约束条件作出可行域;

(3)对目标函数变形并解释其几何意义;

(4)移动目标函数寻找最优解;

(5)解相关方程组求出最优解.

2.关注非线性:

(1)确定非线性约束条件表示的平面区域.可类比线性约束条件,以曲线定界,以特殊点定域.

(2)常见的非线性目标函数有①,其几何意义为可行域上任一点(x,y)与定点(a,b)连线的斜率;②,其几何意义为可行域上任一点(x,y)与定点(a,b)的距离.

知识点三 基本不等式

利用基本不等式证明不等式和求最值的区别.

利用基本不等式证明不等式,只需关注不等式成立的条件.

利用基本不等式求最值,需要同时关注三个限制条件:一正;二定;三相等.

类型一 “三个二次”之间的关系

例1 设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为M,如果M?[1,4],求实数a的取值范围.

 

 

 

 

 

 

反思与感悟 (1)三个二次之间要选择一个运算简单的方向进行转化,如1≤x1则可化归为简单的一元一次不等式组.

(2)用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想.

跟踪训练1 若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集是(1,m),则m=________.

类型二 规划问题

例2 已知变量x,y满足约束条件求z=2x+y的最大值和最小值.

 

 

 

 

反思与感悟 (1)因为寻找最优解与可行域的边界点斜率有关,所以画可行域要尽可能精确;(2)线性目标函数的最值与截距不一定是增函数关系,所以要关注截距越大,z越大还是越小.

跟踪训练2 某人承揽一项业务,需做文字标牌4个,绘画标牌5个.现有两种规格的原料,甲种规格每张3 m2,可做文字标牌1个,绘画标牌2个;乙种规格每张2 m2,可做文字标牌2个,绘画标牌1个,求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小.

 

 

 

 

 

 

类型三 利用基本不等式求最值

命题角度1 无附加条件型

例3 设f(x)=.

(1)求f(x)在[0,+∞)上的最大值;

(2)求f(x)在[2,+∞)上的最大值.

 

 

 

 

 

 

反思与感悟 利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”,缺一不可,可以通过拼凑、换元等手段进行变形.如不能取到最值,可以考虑用函数的单调性求解.

跟踪训练3 已知x<,则f(x)=4x-2+的最大值为________.

命题角度2 有附加条件的最值问题

例4 函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则的最小值为________.

反思与感悟 当所给附加条件是一个等式时,常见的用法有两个:一个是用这个等式消元,化为角度1的类型;一个是直接利用该等式代入,或构造定值.

跟踪训练4 设x,y都是正数,且=3,求2x+y的最小值.

 

 

 

 

 

 

 

1.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=4x+2y的最大值为________.

2.若不等式ax2+bx-2>0的解集为{x|-2},则a+b=________.

3.设a>b>0,则a2+的最小值是________.

4.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0的解集为R,求实数a的取值范围.

1.一元二次不等式的求解方法

对于一元二次不等式ax2+bx+c>0(或≥0,<0,≤0)(其中a≠0)的求解,要联想两个方面的问题:二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点;方程ax2+bx+c=0的根.按照Δ>0,Δ=0,Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0(或≥0,<0,≤0)(a>0)的解集.

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