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来源:互联网 编辑:李元芳 手机版

湖北省高等教育自学考试本科毕业生论文

评审意见表

论文题目:浅谈求极限的若干方法

姓 名:王景宝

专 业:数学教育

准考证号:013712212810

办学单位:华中师范大学

填表日期: 2014 年12月20 日

华中师范大学自学考试办公室制浅谈求极限的若干方法目 录摘 要 ………………………………………………………………………3关键词 ………………………………………………………………………3引 言 ………………………………………………………………………41、化简极限的方法1.1 换元法 ………………………………………………………41.2 无穷小替换 ………………………………………………………41.3 取自然对数法 ………………………………………………………51.4 根式有理化 ………………………………………………………51.5 约去无穷因子 ………………………………………………………5 2、利用数列相关性质求极限2.1 两边价准则 ……………………………………………………62.2 单调有界准则 ……………………………………………………62.3 利用无穷小量的性质求极限 ……………………………………72.4 利用极限的四则运算求极限 ……………………………………72.5 利用两个重要极限公式求极限……………………………………83、洛必达法则求极限 4、级数相关知识求极限4.1 利用级数收敛的必要条件求极限 ………………………………94.2 利用泰勒展开式求极限 ………………………………………9 5、利用微积分相关知识求极限 5.1 利用单侧极限求极限 …………………………………………10 5.2 利用函数的连续性求极限 ……………………………………105.3 利用导数的定义求极限 …………………………………115.4 利用微分中值定理求极限 …………………………………115.5 利用积分中值定理求极限 …………………………………125.6 利用定积分求和式的极限 …………………………………12结 论: ……………………………………………………………………13致 谢: ……………………………………………………………………13参考文献: ……………………………………………………………………14

摘要:本文主要将求极限的常用方法归纳为:1、化简极限的方法;2、利用数列自身性质求极限;3、洛必达法则求极限;4、利用级数相关知识求极限;5、利用微积分相关知识求极限。其中化简极限归纳了换元法、无穷小替换、取自然对数法、约去无穷因子等方法;在极限求解的过程中,是很灵活的,有时候很多种方法可能综合运用,因此求极限的方法有很多,而本文主要归纳了以下几种:利用两边夹准则(迫敛性)求极限、利用单调有界原理求极限、利用两个重要极限公式求极、利用单侧极限求极限、利用函数的连续性求极限、利用无穷小量性质求极限、利用导数的定义求极限、用微分中值定理求极限、利用积分值定理求极限、利用洛必达法则求极限、利用定积分定义求极限、利用级数收敛的必要条件求极限、利用泰勒展开式求极限等方法。

关键词: 两边夹(夹逼)准则, 单调有界必收敛准则,无穷小量替换法, 洛必达法则, 微分中值定理法, 积分中值定理法,定积分定义法, 泰勒展开式法, 级数收敛的必要条件,取自然对数法,约去无穷因子。

Abstract: the common method of this paper will limit as follows: Method 1, simplifying the limit; 2, the use of their own nature series limit; 3, L'Hospital Rule for limit; 4, using series related knowledge for limit; 5, the use of calculus related knowledge limit. The simplification of limit induces change element method, infinitesimal, the logarithm method, to infinite factor method; in the process of solving the limit, is flexible, sometimes a lot of methods may be integrated use, there are many ways so limit, and the paper concludes several: the use of both sides clip criterion (forced convergence property) limit, by using the monotone boundedness principle limit, using two important limit formula for the pole, the use of unilateral limit limit, use function for the continuity of the limit, using the infinitesimal properties of limit, using the guide number is defined limit, limit, using differential mean value theorem integral value theorem for limit, using L'Hospital Rule limit, using the definition of definite integral limit, using the necessary conditions for the convergence of series limit, using the Taylor expansion of seeking limit method.

Keywords: on both sides (squeeze) criterion, monotone bounded will convergence criterion, infinitesimal substitution method, L'Hospital Rule, differential mean value theorem, the integral mean value theorem, definition of definite integral method, the Taylor series expansion method, a necessary condition for convergence of the series, naturally on the number, to infinite factor.

一、引言:

极限是数学分析的基础,数学分析中的很多基本概念都可以用极限来描述。如函数y=f(x)在处导数的定义,定积分的定义,偏导数的定义,二重积分,三重积分的定义,无穷级数收敛的定义,都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具,极限思想贯穿于数学分析课程的始终。学好极限需从以下两方面着手1:是考察所给函数是否存在极限。2:若函数否存在极限,则考虑如何求极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下,如何去求极限进行归纳。求极限的方法远远不止本文所归纳的,故本文并不够完善,求极限的方法未能拓展,只限于数学分析.希望通过本文,大家在思想上能对求解极限的方法有一个高度的总括,计算极限时游刃有余。

一、化简极限的方法:

1.1、换元法:

例:

解:令

1.2、无穷小替换:

(1)等价无穷小量:此方法在求极限过程中,只能用于乘除法中;

(2)常见等价无穷小:当时有:

例:

解:原式 ===

1.3、取自然对数法:

取自然对数法适用于

例:

解:

所以,

1.4、根式有理化:

分子有理化和分母有理化,主要运用平方差公式

解:

1.5、约去无穷因子:此方法应用在不定式中

(1)、 (2)、

解:(1)、

注:本题为“约去无穷小因子”

(2)、

注:本题为“约去无穷大因子”

二、利用数列相关性质求极限:

2.1、两边价准则:

若一正整数 N,当n>N时,有则有 利用两边夹准则求极限关键在于从的表达式中,通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列,使得

例: 的极限。

解:

所以:

2.2、单调有界准则:单调有界数列必收敛,且极限唯一

例: ……,

解:设,则易知数列{}是递增的,现在用数学归纳法证明数列{}有上界,

假设则有,从而对一切n以后,即数列{}有上界。

有单调性知道,数列{}有极限,记为,由于两边取极限可得:,解得:,由数列保不等式性知只能取2。 故有

2.3、利用无穷小量的性质求极限:

无穷小量的性质:无穷小量与有界变量的乘积还是无穷小量。如果,g(x)在某区间内有界,那么.这种方法可以处理一个函数不存在但有界,和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。

例:求

解: 因为

所以,原式=0

2.4、利用极限的四则运算求极限

利用极限的四则运算性质:

1:两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的极限等于极限和的或差。

2:两收敛数列且作除数的数列的极限不为零,则商的极限等于极限的商。

总结:通常在这一类型的题中,一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。(例如分之,分母分解因式,约去趋于零但不等于零的因式;分之,分母有理化消除未定式;通分化简;化无穷多项的和(或积)为有限项。)

例;求极限 (1)、 (2)、

1)解:

2)解:

2.5、利用两个重要极限公式求极限

在这一类型题中,一般也不能直接运用公式,需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。

(1)

(2)

例:求下列函数的极限

(1) (2)

解:(1) 令则,原式=

(2)

三:洛必达法则求极限:

洛必达法则只能对型才可直接使用,其他待定型必须先化成这两种类型之一,然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当 等于 A 时,那么也存在且等于A. 如果不存在时,并不能断定也不存在,只是这是不能用洛必达法则,而须用其他方法讨论

例 (1) (2)

(3) (4)

解:(1)原式=

(2)原式=

(3)原式=

(4)原式=

特别提示:对于(2)题中一般把趋于零的函数取倒数做商,从而转化成型;而对于(3)中,一般是先对其通分再求极限。

四、级数相关知识求极限:

4.1、利用级数收敛的必要条件求极限

利用级数收敛的必要条件:若级数收敛,则运用这个方法首先判定级数收敛,然后求出它的通项的极限。

例:求

解:设

由比值判别法知收敛 所以,由必要条件知原式=0

4.2、利用泰勒展开式求极限

泰勒展开式:若 f(x)在x=0点有直到n+1 阶连续导数,那

(其中在0与1之间)

例:

解:泰勒展开式

于是 -

所以,原式=

五、利用微积分相关知识求极限

5.1、利用单侧极限求极限

这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限,首先必须考虑分段点的左、右极限,如果左、右极限都存在且相等,则函数在分界点处的极限存在,否则极限不存在。

例: 求 f(x)在x=0的左右极限

解:因为

所以

5.2、利用函数的连续性求极限

适用于求复合函数的极限;且

即,极限号可以与符号f互换顺序。

例:求

解:

5.3、利用导数的定义求极限

导数的定义:函数f(x)在某领域内有定义, 如果存在,则称此函数 f(x)在点 处可导,导函数记为 .即。在这种方法的运用过程中。首先要选好f(x)。然后把所求极限。表示成f(x)在定点的导数。

例:

解:原式=

5.4、利用微分中值定理求极限:

(1)、拉格朗日中值定理:若函数 f(x) 满足 () 在 连续 .()在(a,b)可导;则在(a,b)内至少存在一点,使

(2)、拉格朗日中值定理变式:

例:

解:

5.5、利用积分中值定理求极限:

积分中值定理:设函数f(x) 在闭区间 上连续;g(x) 在上不变号且可积,则在上至少有一点使得

例: p<0

解:原式 = n< 由于=0,有界

所以原式= 0

5.6、利用定积分求和式的极限

若f(x)在[a,b]上连续,则

特别地:当

例:

解:原式=

=

= =

特别注意:在运用此方法时,还可以运用定积分的性质,对被极函数进行放缩,理应两边夹求极限,同时也可以极限符号与积分符号运算互换。

结论:

本文主要归纳了数学分析中求极限的若干方法,并且结合实例把每一种方法的特点及注意事项做了详细的重点说明,从而使大家深刻理解极限的概念熟练掌握求极限的方法。由于本文对求极限的各种方法很详尽具体的注解,使方法更具体针对性、技巧性,但在实际学习中很多就是运用多种方法求解的,所以求极限时,首先观察函数的形式,选择适当的方法,才能准确、快速、灵活的求极限。

致谢:

这次毕业论文能够顺利完成,自始至终都是在余晓娟老师的指导下进行的。从论文的选题、文献的采集、框架设计、结构的布局到最终的论文定稿,从内容到各式,从标题到标点,她都费尽心血,余老师学识渊博,思维敏锐,使我受益匪浅,终身难忘。老师严谨的治学态度和一丝不苟的精神将永远激动和鞭策我认真学习。在此,仅向导师余晓娟老师表示崇高的敬意和感谢!

同时还要感谢一直关心支持我的家人对我的教悔、帮助和鼓励,感谢身边所有朋友与同学,感谢你们一直以来对我的关照与宽容,与你们一起走过的时代,将会是我一生最珍贵的记忆。

参考文献:

[1] 华中师范大学编,数学分析(上下册)第二版,高等教育出版社

[2] 数学分析的理论、方法与技巧,邓乐斌编,华中科技大学出版社

[3] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法.北京:高等教育出版社

[4] 陈传璋,金福临编,数学分析(上下册)第二版,高等教育出版社

[5] 蔡子华主编,2005年数学复习大全(经济类),现代出版社

[6] 冯丽珠,变形法求极限的变法技巧 ,武汉职业技术学院学报,2003年3月,35-36

[7] 李小光,求极限的若干技巧,西安航空技术高等专科学校学报,2002年3月,20-21

指导老师

单位

职称

指导教师评语:

指导教师: (盖章)

年 月 日

答辩小组评语:

成绩 组长签名: (盖章)

年 月 日

答辩委员会意见:

负责人签名: (盖章)

年 月 日

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