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湖北省高等教育自学考试本科毕业生论文

评审意见表

论文题目:浅谈求极限的若干方法

姓名:王景宝

专业:数学教育

准考证号:013712212810

办学单位:华中师范大学

填表日期:2014 年12月20 日

华中师范大学自学考试办公室制

浅谈求极限的若干方法

目录

摘要 (3)

关键词 (3)

引言 (4)

1、化简极限的方法

1.1 换元法 (4)

1.2 无穷小替换 (4)

1.3 取自然对数法 (5)

1.4 根式有理化 (5)

1.5 约去无穷因子 (5)

2、利用数列相关性质求极限

2.1 两边价准则 (6)

2.2 单调有界准则 (6)

2.3 利用无穷小量的性质求极限 (7)

2.4 利用极限的四则运算求极限 (7)

2.5 利用两个重要极限公式求极限 (8)

3、洛必达法则求极限

4、级数相关知识求极限

4.1 利用级数收敛的必要条件求极限 (9)

4.2 利用泰勒展开式求极限 (9)

5、利用微积分相关知识求极限

5.1 利用单侧极限求极限 (10)

5.2 利用函数的连续性求极限 (10)

5.3 利用导数的定义求极限 (11)

5.4 利用微分中值定理求极限 (11)

5.5 利用积分中值定理求极限 (12)

5.6 利用定积分求和式的极限 (12)

结论: (13)

致谢: (13)

参考文献: (14)

一、引言:

极限是数学分析的基础,数学分析中的很多基本概念都可以用极限来描述。如函数y =f(x)在0x x =处导数的定义,定积分的定义,偏导数的定义,二重积分,三重积分的定义,无穷级数收敛的定义,都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具,极限思想贯穿于数学分析课程的始终。学好极限需从以下两方面着手1:是考察所给函数是否存在极限。2:若函数否存在极限,则考虑如何求极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下,如何去求极限进行归纳。求极限的方法远远不止本文所归纳的,故本文并不够完善,求极限的方法未能拓展,只限于数学分析.希望通过本文,大家在思想上能对求解极限的方法有一个高度的总括,计算极限时游刃有余。

一、化简极限的方法:

1.1、换元法: 例:11lim ln x x x x x →-

解:令 1x t x =- 则 ln ln(1)x t =+ 1t 01lim =lim 1ln ln(1)x x x t x x t →→-=+

1.2、无穷小替换:

(1)等价无穷小量:此方法在求极限过程中,只能用于乘除法中;

(2)常见等价无穷小:当0x →时有: sin x x ~ tan x x ~

ln x x (1+)~ 1x e x -~

112x ~ 211cos 2

x x -~ ()

1x x ?+?~ 1ln x a x a -~

例:30tan sin lim x x x

x →-

解:原式 =30sin (1cos )lim cos x x x x x →-=2

3

0.12lim cos x x x x x →=12

1.3、取自然对数法:

取自然对数法适用于()()g x f x 型

例:0

lim x x x +→ 解: 0lim ln 0lim x x x

x x x e →+→= 00ln lim ln lim 01

x x x x x x

++→→== 所以,00

lim 1x x x e +→==

1.4、根式有理化:

分子有理化和分母有理化,主要运用平方差公式

0x →

解:0

x →

001x x →→===

1.5、约去无穷因子:此方法应用在不定式中

(1)、1

1l i m 1n m x x x →-- (2)

、l i m x

解:(1)、1212111(1)(1)lim lim 1(1)(1)n n n m m m x x x x x x x x x x x x ----→→--++???++=--++???++

?1lim 1n n m m x x x x n x x x m ----→++???++==++???++ 注:本题为“约去无穷小因子”

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